ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ/ಆರ್ಯಭಟ

ಪ್ರ.ಶ.ಸು.476. ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಚರಿತ್ರೆಯಲ್ಲಿ (ಇಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಮಟ್ಟಿಗೆ) ಮೊತ್ತ ಮೊದಲನೆಯ ಸುಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗಣಿತವಿದ್ವಾಂಸ. ಇವನನ್ನು ಕುಸುಮಪುರದ ಆರ್ಯಭಟನೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಕುಸುಮಪುರ ಈಗಿನ ಪಟಣದ ಬಳಿ ಇತ್ತು. ಪ್ರ.ಶ 476. ತನ್ನ ಸುಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗ್ರಂಥವಾದ ಆರ್ಯಭಟೀಯವನ್ನು ಪ್ರ.ಶ. 499ರಲ್ಲಿ ಬರೆದ. ಇದೇ ಹೆಸರಿನ ಮತ್ತೊಬ್ಬ ಪ್ರ.ಶ. ಸು. 950ರಲ್ಲಿ ಆರ್ಯಸಿದ್ಧಾಂತವೆಂಬ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರ ಗ್ರಂಥವನ್ನು ಬರೆದ. ಕುಸುಮಪುರದ ಆರ್ಯಭಟನಿಗೆ ಹಿಂದೆ ಮತ್ತೊಬ್ಬ ಆರ್ಯಭಟನಿದ್ದಿರಬಹುದು. ಈ ಜಿಜ್ಞಾಸೆ ಬಗೆಹರಿದಿಲ್ಲ. ಆರ್ಯಭಟನ ಹೆಸರು ಹೇಳಿದಾಗಲೆಲ್ಲ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕುಸುಮಪುರದ ಆರ್ಯಭಟನನ್ನೇ ಕುರಿತು ಹೇಳುವುದು. ಆರ್ಯಭಟೀಯವೆಂಬ ಗ್ರಂಥ 108 ಶ್ಲೋಕಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಸಣ್ಣ ಗ್ರಂಥ. ಇದಕ್ಕೆ ಪೀಠಿಕೆಯಾಗಿ 10 ಶ್ಲೋಕಗಳಿವೆ. ಗ್ರಂಥದಲ್ಲಿ ಶುದ್ಧ ಗಣಿತಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಶ್ಲೋಕಗಳು 33 ಮಾತ್ರ. ಉಳಿದವು ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದುವು. ಭೂಮಿ ತನ್ನ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತಲೂ ಸುತ್ತುವುದರಿಂದ ಸೂರ್ಯಚಂದ್ರಾದಿಗಳ ದೈನಂದಿನ ಚಲನೆ ಆಗುವುದೆಂದು ಆರ್ಯಭಟ ಸಿದ್ಧಾಂತಿಸಿದರೂ ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಪ್ರಾಚೀನ ಭಾರತೀಯರ ಮನ್ನಣೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಿಲ್ಲ. ಪದ್ಯರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವಾಗ ದೊಡ್ಡ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು ಆರ್ಯಭಟ ಅಕ್ಷರಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂಬುವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ. ಇದರಿಂದ ದಾಶಮಿಕ ಸಂಖ್ಯಾಕ್ರಮ ಆಗಿನ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಜಾರಿಯಲ್ಲಿರಲಿಲ್ಲ ಎಂಬ ತಪ್ಪು ಅರ್ಥವನ್ನು ಮಾಡಬಾರದು. ಅಕ್ಷರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು (ಆರ್ಯಭಟನವಲ್ಲ) ಉಪಯೋಗಿಸುವ ಪದ್ಧತಿ ಈಗಲೂ ನಮ್ಮ ಪದ್ಯ ಗ್ರಂಥಗಳಲ್ಲಿವೆ. ಉದಾ: ಕರಿ=8, ರವಿ=12, ಅಗ್ನಿ=5 ಇತ್ಯಾದಿ. ಆರ್ಯಭಟನ ಶುದ್ಧ ಗಣಿತದ ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯಗಳು ಈ ಕೆಳಗೆ ನಿರೂಪಿತವಾಗಿವೆ.

$1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$1^3+2^3+\cdots +n^3=(1+2+\cdots +n{)}^2$

$=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}$

ವೃತ್ತದ ಪರಿಧಿ ವ್ಯಾಸ = 62,832/20,000 ಎಂದರೆ π ಸಂಖ್ಯೆಗೆ 3.1416 ಎಂಬ ಸನ್ನಿಹಿತ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಮೊತ್ತಮೊದಲು ಕೊಟ್ಟವನು ಆರ್ಯಭಟ. ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಬಹು ಬಾಹುಗಳುಳ್ಳ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನೆಳೆದು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ವೃತ್ತದ ಸುತ್ತಳತೆಯೆಂದು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಭಾವಿಸುವುದರಿಂದ ಈ ಸನ್ನಿಹಿತ ಬೆಲೆ ಬರುತ್ತದೆ. π ಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾದ ಬೆಲೆ ದೊರಕುವುದಿಲ್ಲವೆಂದು ಆರ್ಯಭಟನಿಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದಿತೆಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು.

ಜ್ಯಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ಆಧುನಿಕ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯಲ್ಲಿ sin θ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗಿ ಭಾರತೀಯರು r ತ್ರಿಜ್ಯವುಳ್ಳ ವೃತ್ತವನ್ನೆಳೆದು rsinθ ಎಂಬುದನ್ನು r$\frac{3}{2}$ ಜ್ಯಾ θ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಿದ್ದರು. ಆರ್ಯಭಟ r=3438 ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು θಕ್ಕೆ 0° ಯಿಂದ 90° ವರೆಗೆ 3$\frac{3}{4}$ ಅಂತರವಿರುವಂತೆ 24 ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಇವುಗಳಿಗೆ ಜ್ಯಾಡ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕೊಟ್ಟಿದ್ದಾನೆ. 3438 ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆ ಬಂದ ಕ್ರಮವೇನೆಂದರೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತ 3600=360°*60=21600 ಕಲೆಗಳು ಇವೆ. ವೃತ್ತದ ಪರಿಧಿಯನ್ನು 21600 ಭಾಗಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಭಾಗವೂ ಒಂದು ಅಳತೆಯ ಏಕಮಾನವಿರಬೇಕಾದರೆ (ಯೂನಿಟ್ ಆಫ್ ಲೆಂತ್) r=21600/2π. ಇದು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ 3438 ಆಗುತ್ತದೆ.

ಆಧುನಿಕ ಜ್ಯಾಕೋಷ್ಟಕಗಳೊಡನೆ ಆರ್ಯಭಟನ ಜ್ಯಾಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಹೋಲಿಕೆ ಬಹಳ ಚೆನ್ನಾಗಿದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸ 1/3438 ಅಥವಾ 0.0003ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿಲ್ಲ. ಈ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಆರ್ಯಭಟ ಒಂದು ತೊಡಕಾದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕೊಟ್ಟಿದ್ದಾನೆ. ಶ್ಲೋಕವನ್ನು ಅರ್ಥ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ತೊಡಕು. ಎಸ್. ಎನ್. ನರಹರಯ್ಯನವರೂ ಎ. ಎ. ಕೃಷ್ಣಸ್ವಾಮಯ್ಯಂಗಾರ್ಯರೂ ಎರಡು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಅರ್ಥಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಿರುತ್ತಾರೆ. ವಿಧಾನದ ಹಿಂದಿರುವ ಗಣಿತಕ್ರಮದ ವಿಚಾರವಾಗಿ ಸಮರ್ಪಕವಾದ ಅರಿವು ಇನ್ನೂ ಮೂಡಿಲ್ಲ.

ಕುಟ್ಟಕ ವಿಧಾನದ ಹಿಂದಿರುವ ಗಣಿತಕ್ರಮದ ವಿಚಾರವಾಗಿ ಸಮರ್ಪಕವಾಗಿ ಅರಿವು ಇನ್ನೂ ಮೂಡಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ax-by=c ಎಂಬ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣ ಸಾಧನೆ. ಪಾಶ್ಚಾತ್ಯ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಇದಕ್ಕೆ ಡಯೋಫಾಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂಬ ಹೆಸರು ರೂಢಿಯಲ್ಲಿದೆ. ಪಾಶ್ಚಾತ್ಯ ವಿಧಾನಕ್ಕೂ ಭಾರತೀಯ ವಿಧಾನಕ್ಕೂ ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದೆ. ಪಾಶ್ಚಾತ್ಯ ವಿಧಾನವೂ ಸತತ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ (ಕಂಟಿನ್ಯೂಡ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಷನ್) ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ. ಭಾರತೀಯ ವಿಧಾನ ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸದೆ ಕೇವಲ ಮಹತ್ತಮ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೇಲೆ ನಿಂತಿದೆ. ತತ್ತ್ವಶಃ ಎರಡೂ ಒಂದೇ ಆಗಿ ಪರಿಣಮಿಸುವುದಾದರೂ ವ್ಯವಹಾರಕ್ರಮ ಬೇರೆ ಬೇರೆ.